Random Lasso

Random Lasso是一种较为容易实现的集成线性回归算法，其思路与随机森林极为相似。

模型思路如下：

1. 从总样本中通过自助取样和随机采取特征的方式，得到N个样本（取样方式与随机森林的取样方式相同）；
2. 对着N个样本分别建立N个Lasso回归模型，根据模型中的系数，以计算均值的方式确定每个特征的权重；
3. 重新取样，步骤同1，但是特征取样的概率遵循特征权重；
4. 得到N个样本后，对每个建立一个Adaptive Lasso模型，以所有模型预测结果的均值为最终结果。

具体步骤

1. 模型简介

假设有样本：$(X1,y_1),(X_2,y_2),…,(X_i,y_i),…,(X_n,y_n)$，其中$X_i = (x{i1},…,x_{ip})^T$是一个p维向量，我们可以建立以下模型：

$$y_i = \beta_1 x_i1 + ... + \beta_p x_{ip} + \epsilon$$

其中的$\epsilon$是一个符合$N(0,1)$正态分布的常数，

Lasso回归与普通线性回归不同的是它在常规的误差函数中添加了一个L1范数作为惩罚项，以减小模型发生过拟合的可能性，同时因为L1范数的特性，Lasso也具备了特征筛选的能力，而这个特征筛选的能力既是优点，也是缺点。Lasso回归中需要优化的误差项如下：

$$\min_{\beta}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \sum_{j=1}^{p}\beta_j x_{ij})^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p}\left|\beta_j\right|$$

Lasso非常好用，至今还有不少学者在研究Lasso，因为Lasso还有不少的可优化空间，在实际使用中，Lasso主要有两大局限Zou：

1. 如果模型中有一些高度线性相关的特征，Lasso通常会从中选择一个或者一部分特征，而其他的线性相关特征都置为0。这样的特性在某些应用场景中可能会造成不好的影响。比如在基因序列分析中，基因的表达水平都会遵循一个共同的生物途径，所以往往会体现出高度相关性，但是这些基因又都能作用于生物过程，Lasso却只会从中选择一两个基因。理想的模型应该能选择所有的重要基因，去除无关紧要的基因。

2. 当p>n时，即特征数量大于样本数量时，Lasso最多只能选择n个特征。这样的特性在某些场景同样会出现问题，比如上面的基因分析问题，可能会导致最终的特征选择不足，很多有用的特征无法取到。

<文中还提到了弹性网络，但是因为与Random Lasso模型不太相关，我就略过了>

Zou对Lasso进行了修改，对每个特征使用不同的惩罚项，形成了新的自适应Lasso回归，其误差项如下：

$$\min_{\beta}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \sum_{j=1}^{p}\beta_j x_{ij})^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} w_j \left|\beta_j\right|$$

其中的$w_j = \left| \hat{\beta}_j^ols \right|^{-r}$，$\hat{\beta}_j^ols$是$\beta_j$的最小二乘估计量，而r是一个正实数。

关于Adaptive Lasso的原理可以参看,李锋，部分线性模型的AdaptiveLasso特征选择。基于迭代加权L1范数的稀疏阵列综合

在Python 的sklearn库中，虽然没有adaptive lasso回归函数，但是却可以借助lasso实现adaptive lasso。具体实现将在下一篇文章中介绍。

2. RandomLasso

了解了以上知识后，下面介绍Random Lasso模型的具体步骤。

前面提到了Lasso能够筛选特征，但是这种筛选特征的方式有一个短板，就是对于一些有线性相关的重要特征，Lasso只会从中挑选一个或者一部分。

如果一些独立的数据都符合相同的分布，我们希望Lasso能够从不同的数据集中选取出这些重要因素的不同子集，通过随机选择特征集的方式，我们最终选择的重要特征集合就有可能会包含大部分甚至全部的有线性相关的重要特征。同时这种方式也解决了Lasso的第二个局限。

RandomLasso的具体实现步骤如下

生成特征权重

1. 通过bootstrap自助取样采集B个大小为n的样本集；
2. 从每个样本集中随机抽取一定比例的特征，利用这些特征生成新样本集；
3. 对新样本集建立Lasso模型，并得到每个模型中的系数权重；
4. 计算每个特征的平均系数权重。

因为在每个Lasso模型中，重要因素的权重都会比较大，而不重要因素的权重会很小或者符号相反或者为零，所以使用平均系数就可以衡量出一个特征的重要性。

选择特征

1. 重新自助取样得到B个大小为n的样本集；
2. 根据上一步中得到的系数权重进行特征抽取，抽取一定比例的特征，利用这些特征生成新样本集；
3. 对新样本集建立Adaptive Lasso（或者Lasso）模型，并得到每个模型的系数权重；
4. 计算每个特征的平均系数权重，得到最终的线性回归方程。

在第3步中如果选择了Lasso模型的话，因素权重$w_j$有如下几种选择：

$$w_j = 1/\left|\hat(\beta)_j^ols\right|^r$$ $$w_j = 1/\left|\hat(\beta)_j^ridge\right|^r$$ $$w_j = 1/\left|\hat(\beta)_j^uni\right|^r$$

$\hat(\beta)_j^ols$是$\beta_j$的普通最小二乘估计，$\hat(\beta)_j^ridge$是$\beta_j$的岭回归估计，$\hat(\beta)_j^uni$是$\beta_j$的单变量估计。r是一个正实数。我们的模型直接使用了前面生成的特征权重作为Adaptive Lasso的权重，模型表现较好。

在构建模型的过程中，需要选择样本集的个数B，和选取特征的比例q。其中B表现出来的效果是越大越好，而q可以通过交叉检验的效果来确定较好的q值，因为使用的自助取样，所以会有未取到的袋外数据，正好可以用来做交叉验证。

< 后文是作者展示模型效果，有兴趣的读者请自行阅读>

本文内容主要来自Random Lasso